Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d＞0，且第2項、第5項、第14項分別是等比數(shù)列{b_n}的第2項、第3項、第4項．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}對任意n∈N^*，均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n+1成立．
①求證：

cn

bn

=2（n≥2）；
②求c₁+c₂+…+c₂₀₁₄．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質,等比數(shù)列的性質

專題：

分析：（1）首先利用等差數(shù)列的通項公式將第2項，第5項，第14項用{a_n}的首項與公差表示，再根據(jù)此三項成等比數(shù)列，列出方程，求出公差，利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項公式求出數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項公式即可；
（2）首先根據(jù)題意，再寫一式，表示出a_n，然后兩式相減，可推得

cn

bn

=2，進而求出數(shù)列{c_n}的通項，最后求數(shù)列{c_n}前2014項的和即可．

解答： 解：（1）∵a₂=1+d，a₅=1+4d，a₁₄=1+13d，
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=2（∵d＞0）∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1；
又∵b₂=a₂=3，a₅=b₃=9，
所以等比數(shù)列{b_n}的公比q=

b3

b2

=3，
∴bn=b2qn-2=3n-1
（2）①證明：∵

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=an+1
∴當n≥2時，

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn-1

bn-1

=an
兩式相減，得

cn

bn

=an+1-an=2(n≥2)．
②由①得cn=2bn=2×3n-1(n≥2)
當n=1時，

c1

b1

=a2，∴c₁=3不滿足上式  
∴c1+c2+…+c2014=3+2×31+2×32+…+2×32013=3+

6-6×32013

1-3

=3-3+32014=32014

點評：本題主要考查了利用基本量表示等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項，考查數(shù)列的求和，考查學生的計算能力．