Question

已知x∈[0，log₂3•log₃4]，試求函數(shù)y=(

1

4

)x-(

1

2

)x+2的最大值與最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得 x∈[0，2]，令t=2^x，則 y=（t-2）²+

7

4

．由t為減函數(shù)，可得

1

4

≤t≤1，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得y的最值．

解答： 解：∵已知x∈[0，log₂3•log₃4]，即 x∈[0，2]，
∵y=[(

1

2

)x]2-(

1

2

)x+2，令t=2^x，則 y=（t-2）²+

7

4

．
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，∵t為減函數(shù)，∴(

1

2

)2≤t≤(

1

2

)0，即

1

4

≤t≤1．
再由y=t²-t+2的圖象可知：當(dāng)t=

1

2

時(shí)，函數(shù)y取得最小值為

7

4

，
當(dāng)t=1時(shí)，函數(shù)y取得最大值為2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的書(shū)寫(xiě)思想，屬于中檔題．