Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

-lnx，試判斷函數(shù)分別在下列條件下的單調(diào)性：
（1）a＜-1；
（2）a＜0；
（3）a∈R．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，求導(dǎo)數(shù)，然后，將導(dǎo)數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡，最后，結(jié)合二次函數(shù)和一元二次不等式對a的取值情況進(jìn)行分類討論．

解答： 解：∵f（x）=x+

a

x

-lnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=1-

a

x2

-

1

x

=

x2-x-a

x2

，
（1）令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判別式：
△=1+4a，
∵a＜-1，
∴△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增區(qū)間為：（0，+∞），
此時(shí)沒有減區(qū)間．
（2）當(dāng)a＜0時(shí)，
結(jié)合（1），此時(shí)，△=1+4a＜0，
∴f′（x）＞0恒成立，
增區(qū)間為：（0，+∞），
此時(shí)沒有減區(qū)間．
（3）結(jié)合（1），
令f′（x）＞0，x²-x-a＞0，
∵方程x²-x-a=0的判別式：
△=1+4a，
當(dāng)△＜0時(shí)，即a＜-

1

4

，
此時(shí)，只有增區(qū)間為：（0，+∞），
此時(shí)沒有減區(qū)間．
當(dāng)△≥0時(shí)，即a≥-

1

4

，
此時(shí)，增區(qū)間為：（

1+ 1+4a

2

，+∞），
減區(qū)間：（0，

1+ 1+4a

2

）．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題，重點(diǎn)考查分類討論思想．