Question

9．設(shè)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線和x軸的交點(diǎn)為C，經(jīng)過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，若CB⊥AB，則|AF|-|BF|=（　�。�

• A． $\frac{P}{2}$
• B． -$\frac{P}{2}$
• C． 2P
• D． -2P

Answer 1

分析 先假設(shè)方程與拋物線方程聯(lián)立，借助于求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而求出線段長，進(jìn)而求出|AF|-|BF|．

解答 解：設(shè)AB方程為：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（假設(shè)k存在），與拋物線y²=2px（p＞0）聯(lián)立得k²（x²-px+$\frac{{p}^{2}}{4}$）=2px，
即k²x²-（k²+2）px+$\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$=0
設(shè)兩交點(diǎn)為A（x₂，y₂），B（x₁，y₁），∠CBF=90°即（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₁+$\frac{p}{2}$）+y₁²=0，
∴x₁²+y₁²=$\frac{{p}^{2}}{4}$，∴x₁²+2px₁-$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，即（x₁+p）²=$\frac{5}{4}$p²，解得x₁=$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，
∴B（$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，$\sqrt{-2+\sqrt{5}}$p），|BQ|=$\frac{\sqrt{-1+\sqrt{5}}}{2}$p，|BF|=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$p，
∵x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，x₁=$\frac{-2+\sqrt{5}}{2}$p，
∴x₂=$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$p
∴A（$\frac{2+\sqrt{5}}{2}$p，-$\sqrt{2+\sqrt{5}}$p），|AF|=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$p，
∴|AF|-|BF|=2p，
故選：C．

點(diǎn)評 直線與曲線相交問題，通常是聯(lián)立方程組成方程組，從而可求相關(guān)問題．