Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

x

m(x+2)

（m∈R），方程f（x）=x有唯一解，其中m為常數(shù)，又f（a₁）=

2

5

，f（a_n）=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式
（Ⅲ）若b_n=

4

an

-7且C_n=

b2n+1+b2n

2bn+1bn

（n∈N⁺），求證：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）根據(jù)方程f（x）=x有唯一解，根據(jù)一元二次方程的性質(zhì)，即可求出m，則可以求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，利用構(gòu)造法即可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）求出b_n和c_n的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和，即可證明c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵方程f（x）=x有唯一解，
∴

x

m(x+2)

=x，（m≠0），可以化簡(jiǎn)為mx（x+2）=x，
即mx²+（2m-1）x=0，
當(dāng)且僅當(dāng)2m-1=0，即m=

1

2

時(shí)，方程f（x）=x有唯一解，則f（x）=

2x

x+2

．
（Ⅱ）由已知f（a_n）=a_n+1，得

2an

an+2

=an+1，
則

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以數(shù)列{

1

an

}是以

1

a1

為首項(xiàng)，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∵f（a₁）=

2

5

，∴

2a1

a1+2

=

2

5

，解得a₁=

1

2

，
則

1

an

=2+

1

2

（n-1）=

n+3

2

，
故數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=

2

n+3

；
（Ⅲ）∵b_n=

4

an

-7，∴b_n=2n-1，
則c_n=

bn+12+bn2

2bn+1bn

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
則c₁+c₂+…+c_n=（1+1-

1

3

）+（1+

1

3

-

1

5

）+…+（1+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=n+1-

1

2n+1

＜n+1．
即不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，根據(jù)遞推熟練，通過(guò)構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握裂項(xiàng)法求和．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．