Question

已知二次函數(shù)g（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x都滿足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1，令f（x）=g（x+

1

2

）+mlnx+

9

8

（m∈R，x＞0）．
（1）求g（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)1＜m≤e，H（x）=f（x）-（m+1）x．證明：對(duì)任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）設(shè)g（x）=ax²+bx+c，根據(jù)g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1直接可得答案．
（2）先根據(jù)H（x）的導(dǎo)數(shù)小于等于0判斷出H（x）單調(diào)遞減的，只要證明|H（m）-H（1）|＜1即可．

解答： （1）解：設(shè)g（x）=ax²+bx+c，于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2，
所以a=0.5，c=-1，
又g（1）=-1，則b=-0.5．
所以g（x）=0.5x²-0.5x-1．…（5分）
（2）證明：因?yàn)閷?duì)?x∈[1，m]，H′（x）=

(x-1)(x-m)

x

≤0，
所以H（x）在[1，m]內(nèi)單調(diào)遞減．
于是|H（x₁）-H（x₂）|≤H（1）-H（m）=0.5m²-mlnm-0.5
證明|H（x₁）-H（x₂）|＜1，即證明0.5m-lnm-

3

2m

＜0，
記h（m）=0.5m-lnm-

3

2m

（1＜m≤e），
則h′（m）=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0，
所以函數(shù)h（m）=0.5m-lnm-

3

2m

在（1，e]是單調(diào)增函數(shù)，
所以h（m）≤h（e）=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命題成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的增減性的問(wèn)題．