已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
n+1
,前n項(xiàng)和為Sn.若對于任意正整數(shù)n,不等式S2n-Sn
m
16
恒成立,則常數(shù)m所能取得的最大整數(shù)為
 
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:由已知條件,推導(dǎo)出S2n-Sn=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
,設(shè)bn=S2n-Sn,推導(dǎo)出bn+1-bn=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
>0,得到{bn}的最小值是b1,由此能求出結(jié)果.
解答: 解:∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
1
n+1
,前n項(xiàng)和為Sn
Sn=a1+a2+a3+…+an,
S2n=a1+a2+a3+…+an+an+1+…+a2n
∴S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n
=(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
2n+1
)-(
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n+1

=
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1
,
設(shè)bn=S2n-Sn,
則bn+1-bn=(
1
n+3
+
1
n+4
+…+
1
2n+1
+
1
2n+2
+
1
2n+3
)-(
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n+1

=
1
2n+2
+
1
2n+3
-
1
n+2
>0,
∴{bn}是遞增數(shù)列
∴{bn}的最小值是b1
∵不等式S2n-Sn
m
16
恒成立,∴b1
m
16

b1=S2-S1=(a
 1
 
 
+a2)-a1=a2=
1
3
,
1
3
m
16
,解得m<
16
3

∴m的最大值是5.
故答案為:5.
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法和應(yīng)用,綜合性強(qiáng),難度較大,對數(shù)學(xué)思維能力的要求較高,解題時(shí)要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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