Question

某學(xué)校教學(xué)實(shí)驗(yàn)樓有兩部電梯，每位教師選擇哪部電梯到實(shí)驗(yàn)室的概率都是

1

2

，且相互獨(dú)立，現(xiàn)有3位教師準(zhǔn)備乘電梯到實(shí)驗(yàn)室．
（Ⅰ）求3位教師選擇乘同一部電梯到實(shí)驗(yàn)室的概率；
（Ⅱ）若記3位教師中乘第一部電梯到實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)3位老師選第一部電梯的事件分別為A，B，C，由題意3位教師選擇乘同一部電梯到實(shí)驗(yàn)室的概率p=P（ABC）+P（

.

A

.

B

.

C

），由此能求出結(jié)果．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)3位老師選第一部電梯的事件分別為A，B，C，
由題意知P(A)=

1

2

，P（B）=

1

2

，P（C）=

1

2

，且事件A，B，C是相互獨(dú)立事件，
∴3位教師選擇乘同一部電梯到實(shí)驗(yàn)室的概率：
p=P（ABC）+P（

.

A

.

B

.

C

）=

1

2

×

1

2

×

1

2

+（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）=

1

4

．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
由（Ⅰ）知：
P（ξ=0）=（1-

1

2

）（1-

1

2

）（1-

1

2

）=

1

8

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

1

2

)(1-

1

2

)2=

3

8

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

1

2

)2(1-

1

2

)=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

2

×

1

2

×

1

2

=

1

8

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 8	3 8	3 8	1 8

ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=0×

1

8

+1×

3

8

+2×

3

8

+3×

1

8

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型，解題時(shí)要注意概率知識(shí)的靈活運(yùn)用，是中檔題．