Question

9．已知y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，其對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，則當(dāng)f（sinx）＞f（cosx）時，x的取值范圍（　�。�

• A． （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z
• B． （kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z
• C． （2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z
• D． （kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z

Answer 1

分析 根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)得f（sinx）＞f（cosx）?f（|sinx|）＞f（|cosx|），由f（x）對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，知f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，據(jù)單調(diào)性即可去掉不等式中的符號“f”．轉(zhuǎn)化后解不等式即可求得所求的范圍．

解答 解：因為f（x）為偶函數(shù)，
所以f（sinx）＞f（cosx）?f（|sinx|）＞f（|cosx|）
又由f（x）對任意的x₁，x₂∈（-∞，0]，都使（x₂-x₁）[f（x₂）-f（x₁）]＜0成立，知f（x）在（-∞，0]上單調(diào)遞減，所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以|sinx|＞|cosx|，
所以cos2x＜0，
解得x∈（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性及其應(yīng)用，屬中檔題，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再由奇偶性把問題轉(zhuǎn)為到區(qū)間[0，+∞）上解決．