17．設(shè)數(shù)列{$\frac{1}{4{n}^{2}}$}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．

分析 由$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，能證明Tn＞$\frac{n}{4n+4}$，由$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，能證明Tn＜$\frac{1}{2}$．由此能證明$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．

解答 證明：∵$\frac{1}{4{n}^{2}}$＞$\frac{1}{4n（n+1）}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴Tn＞$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{n}{4n+4}$，
又∵$\frac{1}{4{n}^{2}}＜\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴Tn＜$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{n}{4n+4}$＜Tn＜$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查關(guān)于數(shù)列的前n項(xiàng)和的不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意放縮法的合理運(yùn)用．

練習(xí)冊系列答案
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A．（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$），k∈ZB．（kπ-$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{π}{4}$），k∈Z
C．（2kπ+$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈ZD．（kπ+$\frac{π}{4}$，kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z

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