Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C．
（1）寫(xiě)出C的方程；
（2）設(shè)直線y=kx+1與C交于A，B兩點(diǎn)．k為何值時(shí)以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O？此時(shí)|AB|的值是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可知P點(diǎn)的軌跡為橢圓，并且得到c=

3

，a=2，求出b后可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后得到判別式大于0，然后利用根與系數(shù)關(guān)系得到直線和橢圓兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，寫(xiě)出兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示，最后代入根與系數(shù)的關(guān)系后可求得k的值，利用弦長(zhǎng)公式可求|AB|．

解答： 解：（1）由條件知：P點(diǎn)的軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，其中c=

3

，a=2，
∴b²=a²-c²=1．
故軌跡C的方程為：x2+

y2

4

=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，消去y，
可得（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
△=16k²+48＞0，x₁+x₂=-

2k

k2+4

，x₁x₂=-

3

k2+4

，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
∴

OA

⊥

OB

，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
∴（k²+1）（-

3

k2+4

）+k•（-

2k

k2+4

）+1=0，
∴k=±

1

2

，
∴k=±

1

2

時(shí)，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，
|AB|=

1+ 1 4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

4 65

17

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐曲線的軌跡問(wèn)題，考查了直線和圓錐曲線的關(guān)系，直線和圓錐曲線的關(guān)系問(wèn)題，常采用根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)解決，此題屬中檔題．