Question

若x+

m

x

≥4在x∈[3，4]內(nèi)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：x+

m

x

≥4在x∈[3，4]內(nèi)恒成立?m≥-x²+4x在x∈[3，4]內(nèi)恒成立?m≥[-x²+4x]_max，x∈[3，4]．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：x+

m

x

≥4在x∈[3，4]內(nèi)恒成立?m≥-x²+4x在x∈[3，4]內(nèi)恒成立
?m≥[-x²+4x]_max，x∈[3，4]．
令f（x）=-x²+4x=-（x-2）²+4，x∈[3，4]．
由二次函數(shù)的單調(diào)性可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[3，4]上單調(diào)遞減．
∴f（x）_max=f（3）=-（3-2）²+4=3．
∴實數(shù)m的取值范圍是[3，+∞）．
故答案為：[3，+∞）．

點評：本題考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化、二次函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．