Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

5

2

-

1

an

，b_n=

1

an-2

，則b_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：把已知遞推式變形，取倒數(shù)后轉(zhuǎn)化為b_n+1=4b_n+2，然后利用構(gòu)造法得到新的等比數(shù)列{bn+

2

3

}，求出該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式后得到b_n．

解答： 解：由a_n+1=

5

2

-

1

an

，得an+1-2=

1

2

-

1

an

，
∴an+1-2=

an-2

2an

，

1

an+1-2

=

2an

an-2

，

1

an+1-2

=

4

an-2

+2，
∵b_n=

1

an-2

，
∴b_n+1=4b_n+2，
則bn+1+

2

3

=4(bn+

2

3

)，
∵b1=

1

a1-2

=

1

1-2

=-1，b1+

2

3

=-

1

3

≠0．
∴

bn+1+ 2 3

bn+ 2 3

=4．
∴數(shù)列{bn+

2

3

}構(gòu)成以4為公比的等比數(shù)列．
∴bn+

2

3

=(-

1

3

)•4n-1．
bn=-

1

3

•22n-2-

2

3

．
故答案為：-

1

3

•22n-2-

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列構(gòu)造法，解答的關(guān)鍵是把已知遞推式變形，是中檔題．