Question

如果一個正方形的四個頂點都在三角形的三條邊上，稱該正方形是該三角形的內接正方形，若銳角△ABC的面積為S，求其內接正方形面積的最大值，并求此時正方形的邊長．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：如圖所示，過點A作AN⊥BC交GD于點M．設AN=h，正方形DCEF的邊長CD=x，BC=a．利用平行線分線段成比例可得

h-x

h

=

x

a

，再利用S=

1

2

ah，可得x=

2S

h+ 2S h

，再利用基本不等式可得x的最大值，進而得到面積的最大值．

解答： 解：如圖所示，
過點A作AN⊥BC交GD于點M．
設AN=h，正方形DCEF的邊長CD=x，BC=a．
∵DC∥BC，則

h-x

h

=

x

a

，解得x=

ah

h+a

，
而S=

1

2

ah，∴a=

2S

h

，代入上式可得x=

2S

h+ 2S h

，
∴x≤

2S

2 2S

=

2S

2

，
∴正方形DCEF的面積=x²≤

1

2

S．當且僅當h=

2S

時取等號．

點評：本題考查了平行線分線段成比例的定理、正方形的面積、基本不等式，屬于基礎題．