Question

7．求橢圓的標準方程
（1）求經(jīng)過點（2，-3），且與橢圓9x²+4y²=36有共同焦點的橢圓方程．
（2）已知橢圓經(jīng)過點$（2，-\sqrt{2}）$和點$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$，求它的標準方程．

Answer 1

分析 （1）橢圓9x²+4y²=36化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，設(shè)與橢圓有共同焦點的橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把點（2，-3）代入解出即可得出．
（2）設(shè)焦點在x軸上時橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），把點$（2，-\sqrt{2}）$和點$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入，解得a²，b²，可得它的標準方程．同理可得焦點在y軸上時橢圓的標準方程．

解答 解：（1）橢圓9x²+4y²=36化為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$，設(shè)與橢圓有共同焦點的橢圓方程為$\frac{{y}^{2}}{5+k}+\frac{{x}^{2}}{k}$=1（k＞0），把點（2，-3）代入可得：$\frac{9}{5+k}+\frac{4}{k}$=1，解得k=10．
∴要求的橢圓方程為：$\frac{{y}^{2}}{15}+\frac{{x}^{2}}{10}=1$．
（2）設(shè)焦點在x軸上時橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），把點$（2，-\sqrt{2}）$和點$（-1，\frac{{\sqrt{14}}}{2}）$代入可得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{2}{^{2}}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{7}{2^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=8，b²=4，可得它的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
同理可得焦點在y軸上時橢圓的標準方程為：$\frac{{y}^{2}}{10}+\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．