Question

2．$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$（a＞0）=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 因?yàn)楸磉_(dá)式中含有參數(shù)，所以要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，最后再綜合．

解答 解：該極限值與a的取值有關(guān)，分類討論如下：
當(dāng)a=1時(shí)，$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0恒成立，所以極限為0，
當(dāng)a＞1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-{a}^{-1}}{1+{a}^{-n}}$=a-$\frac{1}{a}$；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=0，
綜合以上討論，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{a}^{n-1}}{1{+a}^{n}}$=$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$，
故填：$\left\{\begin{array}{l}{a-\frac{1}{a}，a＞1}\\{0，0＜a≤1}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了極限及其運(yùn)算，對(duì)于含參的極限問(wèn)題應(yīng)對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，屬于中檔題．