Question

已知F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，且離心率為

2

2

，點(diǎn)A（-

2

2

，

3

2

）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在斜率為k的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M、N，使直線(xiàn)F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，且直線(xiàn)l是否恒過(guò)定點(diǎn)，若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線(xiàn)中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意知直線(xiàn)MN存在斜率，其方程為y=kx+m，由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件推導(dǎo)出直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)（2，0）．

解答： 解：（1）∵F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，
且離心率為

2

2

，點(diǎn)A（-

2

2

，

3

2

）在橢圓C上．
∴

e= c a = 2 2 1 2a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=2，b²=1．
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．…（6分）
（2）由題意知直線(xiàn)MN存在斜率，其方程為y=kx+m，
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，
消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）＞0，
設(shè)M（x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，…（8分）
又k_F2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
由已知直線(xiàn)F₂M與F₂N的傾斜角互補(bǔ)，
得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化簡(jiǎn)，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0，
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0
整理得m=-2k．…（10分）
直線(xiàn)MN的方程為y=k（x-2），
因此直線(xiàn)MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理，傾斜解互補(bǔ)的性質(zhì)的合理運(yùn)用．