【題目】在平面直角坐標系中，函數(shù)在第一象限內的圖像如圖所示，試做如下操作，把軸上的區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每一個小區(qū)間上作一個小矩形，使矩形的右端點落在函數(shù)的圖像上.若用，表示第個矩形的面積，表示這個矩形的面積總和.

（Ⅰ）求的表達式；

（Ⅱ）請用數(shù)學歸納法證明等式：；

（Ⅲ）求的值，并說明的幾何意義.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ），的幾何意義表示函數(shù)的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積.

【解析】

（1）第個矩形的高為，然后直接求出第個矩形的面積；

（2）當時，命題成立，假設時命題成立，證得時命題成立，即可得到結論；

（3）求得，求出極限，然后說明極限的幾何意義.

（Ⅰ）由題意第個矩形的高是，所以

（Ⅱ）（i）當時，，命題成立，

（ii）假設時命題成立，即，

則時，

，

∴時命題成立，

綜上，時，命題成真，即，

（Ⅲ）由（1）可求得

，

則，

所以的幾何意義表示函數(shù)的圖象與軸，及直線和所圍曲線梯形的面積為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)是偶函數(shù).求的值，并在坐標系中畫出的大致圖象；

（2）若當時，恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經過點，若|f（x1）﹣f（x2）|＝4時，|x1﹣x2|的最小值為．

（1）求函數(shù)f（x）的解析式；

（2）求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；

（3）當時，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知命題表示雙曲線，命題表示橢圓．

（1）若命題p與命題q都為真命題，則p是q的什么條件？

（2）若為假命題，且為真命題，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，

（Ⅰ）若求不等式的解集

（Ⅱ）若不等式的解集非空，求的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為1，P，Q分別是線段和上的動點，且滿足，則下列命題錯誤的是（ ）

A.存在P，Q的某一位置，使

B.的面積為定值

C.當時，直線與是異面直線

D.無論P，Q運動到任何位置，均有

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于函數(shù)，下列說法正確的是________.

①是的最大值點.

②函數(shù)有且只有1個零點.

③存在正實數(shù)，使得恒成立.

④對任意兩個不相等的正實數(shù)，若，則.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上．

（）求橢圓的方程．

（）設動直線與橢圓有且僅有一個公共點，判斷是否存在以原點為圓心的圓，滿足此圓與相交于兩點， （兩點均不在坐標軸上），且使得直線、的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】假設關于某種設備的使用年限(年)與所支出的維修費用 (萬元)有如下統(tǒng)計：

2

3

4

5

6

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

已知， . ，

(1)求， ；

(2)與具有線性相關關系，求出線性回歸方程；

(3)估計使用年限為10年時，維修費用約是多少？

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