Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-lnx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=

e

x

，若對任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需函數(shù)f′（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，然后利用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（Ⅱ）若對任意x₁∈[1，e]都存在x₂∈[1，e]使g（x₁）＜f（x₂）成立，即當(dāng)x∈[1，e]，函數(shù)f（x）的最大值大于g（x）的最大值，分別求出兩個函數(shù)的最大值，可得a的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
要使函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，只需函數(shù)f′（x）≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
即a（1+

1

x2

）-

1

x

≥0在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
即a≥

x

x2+1

在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
令g（x）=

x

x2+1

，x∈（0，+∞），
g（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取等號，
∴a≥

1

2

；
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）=a（x-

1

x

）-lnx，
∴f′（x）=a（1+

1

x2

）-

1

x

=

ax2-x+a

x2

．
a＜

1

2

時，不符合題意；
a≥

1

2

時，函數(shù)f（x）在[1，e]內(nèi)為增函數(shù)，f（x）_max=f（e）=a（e-

1

e

）-1；
∵g（x）=

e

x

，
∴g′（x）=-

e

x2

，
∴函數(shù)g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，
∴g（x）_max=g（1）=e，
∴a（e-

1

e

）-1≥e，
∴a≥

e

e-1

．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，其中將已知轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1，e]，函數(shù)f（x）的最大值大于g（x）的最大值是解答的關(guān)鍵．