Question

（本小題滿分14分）如圖，已知圓E:，點，P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．

（Ⅰ）求動點Q的軌跡的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與(Ⅰ)中軌跡相交于兩點，直線的斜率分別為

．△的面積為，以為直徑的圓的面積分別為．若恰好構(gòu)成等比數(shù)列，求的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）;(Ⅱ) .

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由垂直平分線性質(zhì)可知，，所以有，由橢圓定義可得點的軌跡為橢圓，可求其軌跡方程；

(Ⅱ) 設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，由及韋達定理可求得，再利用可求出的取值范圍，求出，即可求的取值范圍。

試題解析：（Ⅰ）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|＝|QF|，則|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，

故動點Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點，長軸長為4的橢圓． 2分

設(shè)其方程為，可知，，則， 3分

所以點Q的軌跡的方程為為． 4分

(Ⅱ)設(shè)直線的方程為，，

由可得，

由韋達定理有：

且 6分

∵構(gòu)成等比數(shù)列，=，即：

由韋達定理代入化簡得：．∵ ， 8分

此時，即．又由三點不共線得

從而．

故

10分

又

則

為定值． 12分

當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．

綜上： 14分

考點：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值、最值，不等式恒成立問題的化歸與轉(zhuǎn)化.