Question

5．已知y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=2^x-3，則滿足f（x）＜0的x的取值范圍是-log₂3＜x＜log₂3．

Answer 1

分析 由偶函數(shù)的定義和運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在[0，+∞）上的單調(diào)性，可將f（x）＜0轉(zhuǎn)化為f（|x|）＜f（log₂3），化簡(jiǎn)為|x|＜log₂3，即可得到x的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∵當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=2^x-3，
∴f′（x）=2^xln2＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又f（log₂3）=0
∴f（x）＜0轉(zhuǎn)化為f（|x|）＜f（log₂3）
∵f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|x|＜log₂3
∴-log₂3＜x＜log₂3．
故答案為：-log₂3＜x＜log₂3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運(yùn)用，注意函數(shù)的定義域，注意運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，屬于中檔題．