Question

20．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}-b}{{2}^{x}-a}$是奇函數(shù)．
（1）求a、b的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調性，并用定義證明．
（3）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）在R上為奇函數(shù)便可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-f（1）}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$，這樣便可求出a=-1，b=-1；
（2）先分離常數(shù)得到f（x）=$-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$，這樣可看出x增大時，f（x）減小，從而可判斷f（x）在R上為減函數(shù)，根據(jù)減函數(shù)的定義證明：設任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，證明f（x₁）＞f（x₂）便得出f（x）在R上為減函數(shù)；
（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域有2^x＞0，從而可以得到2^x+1＞1，這樣便可得出$\frac{1}{{2}^{x}+1}$的范圍，進一步便可得出f（x）的范圍，即得出函數(shù)f（x）的值域．

解答 解：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-f（1）}\\{f（0）=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-\frac{1}{2}-b}{\frac{1}{2}-a}=-\frac{-2-b}{2-a}}\\{\frac{-1-b}{1-a}=0}\end{array}\right.$；
解得a=-1，b=-1；
（2）$f（x）=\frac{-{2}^{x}+1}{{2}^{x}+1}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{{2}^{x}+1}=-1+\frac{2}{{2}^{x}+1}$；
∴x增大時，2^x增大，f（x）減��；
∴f（x）在R上單調遞減，證明如下：
設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$，${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調遞減；
（3）2^x＞0；
∴2^x+1＞1；
∴$0＜\frac{1}{{2}^{x}+1}＜1$；
∴-1＜f（x）＜1；
∴f（x）的值域為（-1，1）．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時，f（0）=0，分離常數(shù)法的運用，減函數(shù)的定義，根據(jù)減函數(shù)的定義判斷并證明一個函數(shù)為減函數(shù)的方法和過程，指數(shù)函數(shù)的值域，根據(jù)不等式的性質求函數(shù)值域的方法．