Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=BC=1，A₁B=

2

．
（1）求證：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）若D為AB中點，求證：BC₁∥平面A₁CD；
（3）若D為AB得三等分點，且

AD

DB

=2，求平面A₁CD將三棱柱分成左，右兩部分體積的比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理、及線面、面面垂直的判定定理和性質定理即可證明；
（2）利用平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、線面平行的判定定理即可證明；
（3）V_左=

1

3

•2S•h=

2

3

Sh，V_柱=3Sh，V_右=3Sh-

2

3

Sh=

7

3

Sh，即可求出平面A₁CD將三棱柱分成左，右兩部分體積的比．

解答： （1）證明：在△A₁AC中，∠A₁AC=60°，AA₁=AC=1，
∴A₁C=1，
在△A₁BC中，BC=1，A₁C=1，A₁B=

2

，
∴∠A₁BC=90°，∴BC⊥A₁C，
又AA₁⊥BC，AA₁∩A₁C=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，
∵BC?平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁．
（2）證明：連接A₁C交AC₁于O，連接DO
則由D為AB中點，O為AC₁中點得，OD∥BC₁，
∵OD?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC；
（3）解：記S_△CBD=S，則S_△CAD=2S，S_△CAB=2S，棱柱的高為h，則
V_左=

1

3

•2S•h=

2

3

Sh，V_柱=3Sh，V_右=3Sh-

2

3

Sh=

7

3

Sh，
∴平面A₁CD將三棱柱分成左，右兩部分體積的比為2：7．

點評：熟練掌握等邊三角形的判定、勾股定理的逆定理、及線面、面面垂直與平行的判定定理和性質定理、平行四邊形的性質、三角形的中位線定理是證明問題的關鍵．