Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n=4a_n-1+3（n≥2），則數(shù)列a_n}的前n項(xiàng)和S_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n=4a_n-1+3可得a_n+1=4（a_n-1+1），且a₁+1=4，從而可得{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a_n+1，進(jìn)而可求．

解答： 解：∵a_n=4a_n-1+3，
∴a_n+1=4（a_n-1+1），且a₁+1=3，
∴{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，
由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，a_n+1=3•4^n-1，
∴a_n=3•4^n-1-1，
∴S_n=3（1+4+4²+…+4^n-1）-n=3×

1-4n

1-4

-n=4ⁿ-n-1（n∈N^*），
故答案為：4ⁿ-n-1（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式a_n=pa_n-1+q求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，一般是構(gòu)造等比數(shù)列{an+

q

p-1

}進(jìn)行求解通項(xiàng)公式．