Question

如圖，橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長軸長為4，不過原點O的斜率為-

3

2

的直線l與橢圓C相交于A、B兩點，已知點P（2，1）且直線OP平分線段AB．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△OAB面積取最大值時直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知設(shè)直線l的方程為y=-

3

2

x+n，由題意a=2，聯(lián)立

x2 4 + y2 b2 =1 y=- 3 2 x+n

，得（b²+9）x²-12nx+4n²-4b²=0，直線OP：x=2y，由直線OP平分線段AB解得b²=3．由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）O到直線y=-

3

2

x+n的距離d=

|n|

9 4 +1

，|AB|=

1+ 9 4

•

n2- 4n2-12 3

，△OAB面積S=

3

3

•

12n2-n4

，由此能求出△OAB面積取最大值時直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）由已知設(shè)直線l的方程為y=-

3

2

x+n，
由題意2a=4，解得a=2，
聯(lián)立

x2 4 + y2 b2 =1 y=- 3 2 x+n

，得（b²+9）x²-12nx+4n²-4b²=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=

12n

b2+9

，x1x2=

4n2-4b2

b2+9

，
y₁+y₂=-

3

2

（x₁+x₂）+2n=-

18n

b2+9

+2n，
∵點P（2，1），∴直線OP：x=2y，
∵且直線OP平分線段AB，∴

x1+x2

2

=y1+y2，
即

6n

b2+9

=-

18n

b2+9

+2n，解得b²=3．
∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）原點O到直線y=-

3

2

x+n的距離d=

|n|

9 4 +1

，
x1+x2=

12n

b2+9

=n，x1x2=

4n2-4b2

b2+9

=

n2-3

3

，
|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 9 4

•

n2- 4n2-12 3

，
∴△OAB面積S=

1

2

|AB|d=|n|•

n2- 4n2-12 3

=

3

3

•

12n2-n4

，
∴當(dāng)n=

6

時，△OAB面積S取最大值．
∴△OAB面積取最大值時直線l的方程為y=-

3

2

x+

6

．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積最大時直線方程的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．