Question

某省物理學(xué)會為了研究高一學(xué)生物理成績與性別的關(guān)系，選取了一次模擬考試中某班級的30名男生和20名女生的物理成績，并整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，記80分以上（包含80分）為優(yōu)秀，80分以下為非優(yōu)秀．

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖，若按90%的可靠性要求，能否認為“成績與性別有關(guān)系”？
（Ⅱ）從本班物理成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生中任取3人，記女生的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式：K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù)：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

考點：獨立性檢驗的應(yīng)用,頻率分布直方圖

專題：應(yīng)用題,概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）寫出列聯(lián)表，求出X²，與臨界值比較，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)題意，得到變量的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出變量的概率，根據(jù)變量和概率的值寫出分布列，做出期望值．

解答： 解：（Ⅰ）男生中，優(yōu)秀有0.3×30=9人，非優(yōu)秀有21人，女生中，優(yōu)秀有0.15×20=3人，非優(yōu)秀有17人．
2×2列聯(lián)表

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	合計
男生	9	21	30
女生	3	17	20
合計	12	38	50

K²=

50×(9×17-3×21)2

30×20×12×38

≈1.48＜2.706
∴按90%的可靠性要求，不能認為“成績與性別有關(guān)系”；
（Ⅱ）本班共有優(yōu)秀12人，其中男9人，女3人，X=0，1，2，3，則
P（X=0）=

C 3 9

C 3 12

=

21

55

；P（X=1）=

C 1 3 C 2 9

C 3 12

=

27

55

；P（X=2）=

C 2 3 C 1 9

C 3 12

=

27

220

；P（X=3）=

C 3 3

C 3 12

=

1

220

；
∴X的分布列

X	0	1	2	3
P	21 55	27 55	27 220	1 220

數(shù)學(xué)期望EX=0×

21

55

+1×

27

55

+2×

27

220

+3×

1

220

=

3

4

．

點評：本題考查概率的計算，考查獨立性檢驗知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．