Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC=BC=AA₁=a，∠ACB=90°，D是A₁B₁中點．
（1）求證：C₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）請問，當(dāng)點F在BB₁上什么位置時，會使得AB₁⊥平面C₁DF？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）根據(jù)AC=BC，判斷出△ABC為等腰三角形，又A₁D=DB₁，知C₁D⊥A₁B₁，最后利用線面垂直的判定定理推斷出C₁D⊥平面A₁B₁BA
（2）由（1）可得：C₁D⊥AB₁，又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，又∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，且AC=BC=AA₁=a，求得A₁B₁=

2

a，由△AA₁B₁∽△DB₁F，推斷出

AA1

DB1

=

A1B1

B1F

，進(jìn)而可知B₁F=a即當(dāng)：F點與B點重合時，會使AB₁⊥平面C₁DF．

解答： 解：（1）∵AC=BC，
∴△ABC為等腰三角形，
又∵A₁D=DB₁，
∴C₁D⊥A₁B₁，
∵C₁D⊥A₁A，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA
（2）由（1）可得：C₁D⊥AB₁，
 又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，
又∵∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，且AC=BC=AA₁=a，
∴A₁B₁=

2

a，
∵△AA₁B₁∽△DB₁F，
∴

AA1

DB1

=

A1B1

B1F

，
∴B₁F=a
即當(dāng)：F點與B點重合時，會使AB₁⊥平面C₁DF．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定定理．考查了學(xué)生分析和推理的能力．