Question

2014年男足世界杯在巴西舉行，為了爭(zhēng)奪最后一個(gè)小組賽參賽名額，甲、乙、丙三支國(guó)家隊(duì)要進(jìn)行比賽，根據(jù)規(guī)則：每?jī)芍ш?duì)比賽一場(chǎng)，共賽三場(chǎng)；每場(chǎng)比賽勝者得3分，負(fù)者得0分，沒(méi)有平局，獲得第一名的隊(duì)伍將奪得這個(gè)參賽名額．甲勝乙的概率為

2

3

，甲勝丙的概率為

1

4

，乙勝丙的概率為

1

5

．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率：
（2）設(shè)在該次比賽中，丙得分為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，丙獲第二，則丙勝乙，由此能求出甲獲第一名且丙獲第二名的概率．（2）ξ的可能取值為0，3，6，分別求出相應(yīng)的概率之后，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為：

2

3

×

1

4

=

1

6

，
丙獲第二，則丙勝乙，其概率為1-

1

5

=

4

5

，
∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率p=

1

6

×

4

5

=

2

15

．
（2）ξ的可能取值為0，3，6，
甲兩場(chǎng)比賽全輸?shù)母怕蕿椋?br />P（ξ=0）=（1-

2

3

）（1-

1

4

）=

1

4

；
甲兩場(chǎng)比賽只勝一場(chǎng)的概率為：
P（ξ=3）=

2

3

(1-

1

4

)+

1

4

(1-

2

3

)=

7

12

；
甲兩場(chǎng)全勝的概率：
P（ξ=6）=

2

3

×

1

4

=

1

6

．
∴ξ的分布列為：

ξ	0	3	6
P	1 4	7 12	1 6

Eξ=0×

1

4

+3×

7

12

+6×

1

6

=

11

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題．