Question

定義在（-∞，0）∪（0，+∞）的函數(shù)f（x）=

ax2+blog2( x2+1 +x)-1

x+c

（a＞0）為奇函數(shù)，且當(dāng)x∈[1，+∞）時，f（x）_min=0，平面上的點P（m，n）使關(guān)于x的方程xf（x）+mx+n+1=0有實根，且根都落在區(qū)間[-1，1]上，那么這樣的點P的集合在平面內(nèi)的區(qū)域的形狀是（　�。�

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，結(jié)合f（x）為奇函數(shù)，確定b=c=0，然后，結(jié)合函數(shù)f（x）在[1．+∞）上為增函數(shù)和最小值為1，得到a=1，
從而確定函數(shù)解析式f（x）=

x2-1

x

，然后，化簡給定的方程，再結(jié)合方程在區(qū)間[-1，1]上有實根，得到m，n的取值區(qū)域，最后，得到相應(yīng)的答案．

解答： 解：∵f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴-（x-c）[ax²+blog₂（

x2+1

+x）-1]=-（x+c）[ax²+blog₂（

x2+1

+x）-1]
∴2bxlog₂（

x2+1

+x）=2acx²-2c=2c（ax²-1），
∵a≠0，
∴b=c=0，
∴f（x）=

ax2-1

x

=ax-

1

x

，
∵a＞0，
∴f（x）在[1．+∞）上為增函數(shù)，
∴（f（x））_min=f（1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=

x2-1

x

，
∵xf（x）+mx+n+1=0有實根，
∴x²+mx+n=0有實根，
∴△=m²-4n≥0，①
∵x∈[-1，1]，
∴

f(-1)≥0 f(1)≥0

，
∴

1-m+n≥0 1+m+n≥0

，②
結(jié)合①②③得點P的集合取值情況如下圖所示：

只有選項D符合條件，
故選：D．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性、最值等問題，線性規(guī)劃問題需要引起高度重視，對于一元二次方程根的分布問題一直是高考的熱點問題，務(wù)必引起高度關(guān)注，本題屬于難題，綜合強，知識量大．