Question

設(shè)x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

1

2a

+

1

3b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式,簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，畫出可行域：利用圖象可知：當(dāng)z=ax+by直線過

3x-y-6=0 x-y+2=0

的交點
A（4，6）時，

z

b

取得最大值12．得到12=4a+6b．再利用基本不等式即可得出．

解答： 解：由x，y滿足約束條件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，畫出可行域：
∵a＞0，b＞0，z=ax+by，
∴y=-

a

b

x+

z

b

，其斜率-

a

b

＜0，在y軸上的截距為

z

b

，
由圖象可知：當(dāng)此直線過

3x-y-6=0 x-y+2=0

的交點A（4，6）時，

z

b

取得最大值12．
∴12=4a+6b，化為2a+3b=6．
∴

1

2a

+

1

3b

=

1

6

（2a+3b）(

1

2a

+

1

3b

)
=

1

6

（2+

3b

2a

+

2a

3b

）≥

1

6

(2+2

3b 2a • 2a 3b

)=

2

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)2a=3b=3時取等號．
∴

1

2a

+

1

3b

的最小值為

2

3

．
故答案為：

2

3

．

點評：本題考查了線性規(guī)劃的有關(guān)知識與基本不等式的性質(zhì)，屬于中檔題．