Question

下列函數(shù)在定義域上既是奇函數(shù)，又是單調(diào)遞增函數(shù)的是（　　）

• A、y=x|x|
• B、y=e^x+e^-x
• C、y=

  x-1，  x≥0 0，  x=0 x+1，  x＜0

• D、y=x

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：A．運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義和單調(diào)性，注意去絕對(duì)值，即可判斷A；
B．由奇偶性定義判斷為偶函數(shù)，故B不正確；
C．由奇偶性定義判斷為奇函數(shù)，但不為增函數(shù)，可舉反例；
D．由定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即可判斷函數(shù)不具有奇偶性．

解答： 解：A．f（x）=x|x|的定義域?yàn)镽，f（-x）=-x|-x|=-f（x）∴函數(shù)在定義域上是奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，y=x²為增函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，y=-x²為增函數(shù)，且函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，∴此函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)．
故A正確；
B．f（x）=e^x+e^-x的定義域?yàn)镽，f（-x）=e^-x+e^x即f（x）=f（-x），∴此函數(shù)是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；
C．當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=0，f（-x）=-f（x），∵x＞0，f（x）=x-1；x＜0時(shí)，f（x）=x+1．若x＜0則-x＞0，f（-x）=-x-1=-f（x），
若x＞0則-x＜0，f（-x）=-x+1=-f（x），故對(duì)x∈R，f（-x）=-f（x），即f（x）奇函數(shù)，可舉x₁=-1，x₂=

1

2

，f（x₁）=0，f（x₂）=-

1

2

，即x₁＜x₂，f（x₁）＞f（x₂），故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．y=x

5

2

=

2	x5

的定義域?yàn)閧x|x≥0}不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴此函數(shù)沒有奇偶性，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)：奇偶性、單調(diào)性，注意函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，必須注意定義中的任意自變量．