Question

（本題滿分13分）已知函數(shù)，各項均不相等的有限項數(shù)列的各項滿足．令，且，例如：．

（Ⅰ）若，數(shù)列的前n項和為Sn，求S19的值；

（Ⅱ）試判斷下列給出的三個命題的真假，并說明理由。

①存在數(shù)列使得；②如果數(shù)列是等差數(shù)列，則；

③如果數(shù)列是等比數(shù)列，則。

Answer 1

（Ⅰ） ；（Ⅱ）①③是真命題；②是假命題

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 1分

3分

5分

（Ⅱ）①顯然是對的，只需滿足 7分

②顯然是錯的，若， 9分

是對的，理由如下： 10分

首先是奇函數(shù)，因此只需考查時的性質，此時都是增函數(shù)，從而在[0,1]上遞增，所以在[-1,1]上單調(diào)遞增。

若，則，所以，即，所以．

同理若，可得，

所以時，．

由此可知，數(shù)列是等比數(shù)列，各項符號一致的情況顯然符合；

若各項符號不一致，則公比q<0且q≠-1，恒不為0

若n是偶數(shù)，符號一致，

又符號一致，所以符合；

若n是奇數(shù)，可證明總和符號一致”，

同理可證符合； 12分

綜上所述，①③是真命題；②是假命題 13分

考點：本題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合