Question

（1）設點A（p，q）在|p|≤3，|q|≤3范圍內均勻分布，求一元二次方程x²-2px-q²+1=0有實根的概率．
（2）p是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，q是從0，1，2，三個數中任取的一個數，求上述x²-2px-q²+1=0有實根的概率．

Answer 1

考點：幾何概型,古典概型及其概率計算公式

專題：計算題

分析：（1）求方程x²-2px-q²+1=0有實數根的概率，先根據二次方程根的判別式求出p，q必須滿足的條件，再在坐標系中畫出相應的封閉曲線，最后求出它們的面積比即可．
（2）根據一元二次方程根的存在情況可得△≥0，方程有解，列舉出6種等可能的結果，其中只有p=0，q=1使△＜0，即使△≥0有5種情況，最后根據概率的概念求解即可；

解答： （1）解：由|p|≤3，|q|≤3可知（p，q）邊長為6的正方形區(qū)域的點集構成
方程均為實數根的條件是：判別式△=4p²-4（-q²+1）≥0
即p²+q²≥1
在直接坐標系點（p，q）落在以原點為圓心，以1為半徑的圓上或其外部
單位圓面積為π，正方形面積為6×6=36
則概率為

36-π

36

=1-

1

36

π
（2）由題意可得，本題是一個古典概率
設事件A：“方程x²-2px-q²+1=0有實數根”
當P＞0，q＞0時，x²-2px-q²+1=0有實數根的充要條件為p≥q
基本事件共有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），1，1）（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）
事件A包含9個基本事件
事件A的概率P（A）=

9

12

=

3

4

點評：本題主要考查了幾何概型，古典概率的求解公式的應用，要注意兩者之間的聯系與區(qū)別