已知A，B是曲線y=x3-ax上不同的兩點，過點A，B兩點的切線都與直線AB垂直，求證：|a|≥
3
．
考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程
專題：綜合題,導數(shù)的概念及應用
分析：由過A、B兩點的切線都垂直于直線AB可知兩切線平行，根據(jù)切線與AB垂直建立等量關系，驗證判別式即可．
解答： 證明：設A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），
∵y=x3-ax，
∴y′=3x2-a，
∵過點A，B兩點的切線都與直線AB垂直，
∴3x12=3x22，
∵x1≠x2，
∴x1=-x2，
于是y1=-y2，kAB=
y1-y2
x1-x2
=
y1
x1
=x12-a，
∵過A點的切線垂直于直線AB，
∴（3x12-a）（x12-a）=-1，
∴3x14-4ax12+a2+1=0，
∴16a2-12（a2+1）≥0，
∴|a|≥
3
．
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線值，考查利用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，1]，求函數(shù)g（x）=f（x+m）+f（x-m）（m＞0）的定義域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某家庭手工坊生產某種兒童玩具，每件玩具的成本為10元，并且每件玩具的加工費為2元，設該手工廠作坊每件玩具的賣出價為x元（15≤x≤21），根據(jù)市場調查，日銷售量c=
2k
x2-128
（k為常數(shù)）．當每件玩具的出廠價為20元時，日銷售量為10件．
（1）求該手工作坊的日利潤y（元）與每件玩具的出廠價x元的函數(shù)關系式；
（2）當每件玩具的售價為多少元時，該手工作坊的利潤y最大，并求y的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某高中畢業(yè)學年，在高校自主招生期間，把學生的平時成績按“百分制”折算，排出前n名學生，并對這n名學生按成績分組，第一組[75，80），第二組[80，85），第三組[85，90），第四組[90，95），第五組[95，100]，如圖為頻率分布直方圖的一部分，其中第五組、第一組、第四組、第二組、第三組的人數(shù)依次成等差數(shù)列，且第四組的人數(shù)為60．
（Ⅰ）請在圖中補全頻率分布直方圖；
（Ⅱ）若B大學決定在成績高的第4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名學生，并且分成2組，每組3人進行面試，求95分（包括95分）以上的同學在同一個小組的概率．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設集合A={a1，a2，…，an}（ai∈N*，i=1，2，3，…，n，n∈N*），若存在非空集合B，C，使得B∩C=∅，B∪C=A，且集合B的所有元素之和等于集合C的所有元素之和，則稱集合A為“最強集合”．
（1）若“最強集合”A={1，2，3，4，m}，求m的所有可能值；
（2）若集合A的所有n-1元子集都是“最強集合”，求n的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=|x-3|-5，g（x）=|x+2|-2．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m-3有解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在周長為8cm的扇形中，扇形面積的最大值為
 
cm2．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

給出下列命題：
①拋物線x=-
1
4
y2的準線方程是x=1；
②在進制計算中，100（2）=11（3）
③命題p：“?x∈（0，+∞），sinx+
1
sinx
≥2”是真命題；
④已知線性回歸方程
y
=3+2x，當變量x增加2個單位，其預報值平均增加4個單位；
⑤設函數(shù)f（x）=
2014x+1+2013
2014x+1
+2014sinx（x∈[-
π
2
，
π
2
]）的最大值為M，最小值為m，則M+m=4027，
其中正確命題的個數(shù)是
 
個．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設[x]表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù)，則方程[tanx]=2cos2x的解為
 
．

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同步練習冊答案