Question

已知x∈R，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，若函數(shù)f(x)=

[x]

x

-a(x＞0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、(

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]
• D、[

  3

  4

  ，

  4

  5

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，方程

[x]

x

= a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且 a≥0，[x]=1，2，3．分別求得[x]=1，2，3，4時(shí)，a的范圍，從而確定滿足條件的a的范圍．

解答： 解：因?yàn)閒（x）=

[x]

x

-a (x＞0)，有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則方程

[x]

x

= a在（0，+∞）上有且僅有3個(gè)實(shí)數(shù)根，且 a≥0．
∵x＞0，∴[x]≥0； 若[x]=0，則

[x]

x

=0；
若[x]≥1，因?yàn)閇x]≤x＜[x]+1，∴

[x]

[x]+1

＜

[x]

x

≤1，∴

[x]

[x]+1

＜a≤1，
且

[x]

[x]+1

隨著[x]的增大而增大．
故不同的[x]對應(yīng)不同的a值，故有[x]=1，2，3．
若[x]=1，則有

1

2

＜

[x]

x

≤1；若[x]=2，則有

2

3

＜

[x]

x

≤1；若[x]=3，則有

3

4

＜

[x]

x

≤1；若[x]=4，則有

4

5

＜

[x]

x

≤1．
綜上所述，

3

4

＜a≤

4

5

，
故選：C．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．