Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=

2

(n+1)bn

（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì)能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

，利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=2ⁿ⁺¹-2，
所以，當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，
當(dāng)n≥2時，
a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，（2分）
又a₁=S₁=2¹⁺¹-2=2=2¹，也滿足上式，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n．（3分）
b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，則由b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，
得（2+2d）²=2×（2+8d），（4分）
解得d=0（舍去）或d=2，（5分）
所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n．（6分）
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

（8分）
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n×(n+1)

（10分）
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時要注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．