Question

如圖，四面體D-ABC的體積為

1

6

，滿足∠ACB=45°，AC=

2

，AD+BC=2，則CD=

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：設四棱錐D-ABC的高為DA'，結(jié)合點到平面的距離垂線段最短，我們可以構(gòu)造一個不等式，結(jié)合基本不等式，我們易判斷出AD與平面ABC垂直，并且可以求出BC及AC的長，結(jié)合勾股定理即可得到答案．

解答： 解：作DA'⊥平面ABC，則AD≥A'D
∴V_D-ABC=

1

3

•A′D（

1

2

•AC•BC•sin45°）=

1

6

≤

1

3

•AD（

1

2

•AC•BC•sin45°），即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
當且僅當AD=BC=

AC

2

=1時取等號，
而AD+BC+

AC

2

=3，故AD'=AD=1，即AD⊥平面ABC
∴AD⊥AC
∴CD=

1+2

=

3

．
故答案為：

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直，考查基本不等式的運用，其中根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式判斷出AD與平面ABC垂直，是解題的關(guān)鍵．