Question

函數(shù)y=sin²x+acosx-

a

2

-

5

2

的最大值為1時(shí)，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=cosx，則-1≤t≤1，
則函數(shù)y=sin²x+acosx-

a

2

-

5

2

等價(jià)為y=f（t）=-t2+at-

a

2

-

3

2

=-(t-

a

2

)2+

a2

4

-

a

2

-

3

2

，對(duì)稱軸為t=

a

2

，
當(dāng)

a

2

≤-1時(shí)，即a≤-2時(shí)，此時(shí)最大值為f（-1）=1，解得a=-

7

3

，
當(dāng)

a

2

≥1時(shí)，即a≥2時(shí)，此時(shí)最大值為f（1）=1，解得a=-7，
當(dāng)-1＜

a

2

＜1，即-2＜a＜2時(shí)，此時(shí)最大值為f（

a

2

）=1，
即

a2

4

-

a

2

-

3

2

=1，
∴a²-2a-10=0，
即（a-1）²=11，即a=1±

11

，此時(shí)a無解．
綜上：a=-

7

3

或7．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論．