Question

已知拋物線E的頂點在原點，焦點為雙曲線

x2

2

-4y2=1的右焦點，
（Ⅰ）求拋物線E的方程；
（Ⅱ）已知過拋物線E的焦點的直線交拋物線于A，B兩點，且|AB|長為12，求直線AB的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由雙曲線的方程求出其右焦點坐標(biāo)，從而得到拋物線的焦點坐標(biāo)，則拋物線方程可求；
（Ⅱ）由題設(shè)可知所求直線的斜率存在，設(shè)出直線方程后和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系得到兩交點的橫坐標(biāo)的和，由拋物線的定義得到|AB|長，由|AB|長為12求得直線的斜率，從而求得直線方程．

解答： 解：（Ⅰ）由雙曲線

x2

2

-4y2=1，得a2=2，b2=

1

4

，
∴c2=a2+b2=2+

1

4

=

9

4

，c=

3

2

，∴右焦點為(

3

2

，0)．
設(shè)E：y²=2px，則

p

2

=

3

2

，得p=3．
∴拋物線方程為：y²=6x；
（Ⅱ）當(dāng)過焦點的直線斜率不存在時，弦為拋物線的通徑，長為6，不合題意；
設(shè)過焦點的直線為y=k(x-

3

2

)，代入y²=6x，得
k2x2-(3k2+6)x+

9

4

k2=0．
∴由韋達(dá)定理得x1+x2=

3k2+6

k2

，
再由拋物線定義知|AB|=x₁+x₂+p=

3k2+6

k2

+3=12，
解得k=±1，
∴所求直線方程為2x-2y-3=0或2x+2y-3=0．

點評：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用把直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關(guān)系解題，是高考試卷中的壓軸題．