Question

2．已知橢圓：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₁的直線l交橢圓于A，B 兩點(diǎn)，則|$\overrightarrow{B{F}_{2}}$|+|$\overrightarrow{A{F}_{2}}$|的最大值為$\frac{28}{3}$．

Answer 1

分析 由橢圓方程求得橢圓的半焦距，結(jié)合橢圓定義求得|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=12，再求出當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)的最小值，則|AF₂|+|BF₂|的最大值可求．

解答 解：由橢圓$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，得a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{5}$，
由橢圓的定義可得：|AF₂|+|BF₂|+|AB|=4a=12，
∵當(dāng)且僅當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，|AB|取得最小值，
把x=-$\sqrt{5}$代入$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，解得：y=±$\frac{4}{3}$，
∴|AB|_min=$\frac{8}{3}$，
∴|AF₂|+|BF₂|的最大值為12-$\frac{8}{3}$=$\frac{28}{3}$．
故答案為：$\frac{28}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是明確當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)焦點(diǎn)弦最短，是基礎(chǔ)題．