Question

定義在R上的連續(xù)函數(shù)y=f（x），對任意x滿足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0．則下列結(jié)論正確的有

 

①函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)；
②f（

2

）＞f（sin18°+cos18°）；
③若f（2）=2014，f（2014）=-2，則y=f（x）有兩個零點；
④若x₁＜x₂且x₁+x₂＞4則f（x₁）＜f（x₂）；
⑤在△ABC中，若三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，且f（

3

sinA）＜f（sin（C-

π

6

）），則△ABC為鈍角三角形．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)的對稱性，求出函數(shù)y=f（x）的對稱軸，進而根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換，求出函數(shù)y=f（x+2）的對稱軸，可判斷①；根據(jù)已知結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而可判斷②，④，再結(jié)合零點存在定理可判斷③；根據(jù)三數(shù)成等差數(shù)列，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求出B，A+C，根據(jù)函數(shù)在（-∞，2）上的單調(diào)性，去掉f，應(yīng)用和差公式，化簡得到cosC＜0，可判斷⑤．

解答： 解：①∵y=f（x）對任意x滿足f（4-x）=f（x），
∴f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱，
將y=f（x）的圖象向左平移2個單位，得到函數(shù)y=f（x+2）的圖象，
∴函數(shù)y=f（x+2）的圖象關(guān)于y軸對稱，即函數(shù)y=f（x+2）為偶函數(shù)，
故①正確；
②∵（x-2）f′（x）＜0，
∴x＜2時f′（x）＞0，x＞2時f′（x）＜0，
即f（x）在（-∞，2）上遞增，在（2，+∞）上遞減，
又sin18°+cos18°=

2

sin（45°+18°）＜

2

，
∴f（

2

）＞f（sin18°+cos18°），
故②正確；
③若f（2）=2014，f（2014）=-2，
∵f（4-x）=f（x），∴f（-2010）=f（2014）=-2，
∴由零點存在定理得，
f（x）在（-2010，2），（2，2014）內(nèi)各有一個零點，
∴y=f（x）有兩個零點，
故③正確；
④∵x₁＜x₂且x₁+x₂＞4，∴2＜4-x₁＜x₂，
∴f（4-x₁）＞f（x₂）即f（x₁）＞f（x₂），
故④錯誤；
⑤在△ABC中，若三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，則A+C=2B，
又A+B+C=180°，∴B=60°，A+C=120°，
∵f（x）在（-∞，2）上遞增，且f（

3

sinA）＜f（sin（C-

π

6

）），
∴

3

sinA＜sin（C-30°），即

3

sin（120°-C）＜sin（C-30°），
即

3

（

3

2

cosC+

1

2

sinC）＜

3

2

sinC-

1

2

cosC，
化簡得：cosC＜0，即C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，
故⑤正確；
故答案為：①②③⑤．

點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的對稱性，奇偶性，導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性，零點，三角函數(shù)的化簡等知識點，考查靈活運用公式的能力和靈活運用定義的能力，是一道不錯的綜合題．