Question

已知函數(shù)f（x）定義在R上，對(duì)任意的x，y∈R，f（x）≠0，且f（x+y）=f（x）f（y）．
（Ⅰ）求f（0），并證明：f（x-y）=

f(x)

f(y)

；
（Ⅱ）若f（x）單調(diào)，且f（1）=2．設(shè)向量

a

=（

2

cos

θ

2

，1），

b

=（

2

λsin

θ

2

，cos²θ），對(duì)任意θ∈[0，2π），f（

a

•

b

）-f（3）≤0恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,抽象函數(shù)及其應(yīng)用,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令y=x=0可得f（0）=f²（0），由于f（x）≠0，即可得出f（0），由f（x+y）=f（x）f（y）可得得f（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y），即可證明；
（II）由于f（0）=1，f（1）=2，且f（x）是單調(diào)函數(shù)，即可得出f（x）是增函數(shù)．利用數(shù)量積運(yùn)算可得

a

•

b

=λsinθ+cos2θ，利用f(

a

•

b

)-f(3)≤0可得λsinθ+cos²θ≤3恒成立，θ∈[0，2π）．通過換元、分類討論再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）令y=x=0得f（0）=f²（0），
又∵f（x）≠0，∴f（0）=1，
由f（x+y）=f（x）f（y）得f（x）=f[（x-y）+y]=f（x-y）f（y），
∵f（x）≠0，∴f(x-y)=

f(x)

f(y)

．
（Ⅱ）∵f（0）=1，f（1）=2，且f（x）是單調(diào)函數(shù)，∴f（x）是增函數(shù)．
而

a

•

b

=λsinθ+cos2θ，
∴由f(

a

•

b

)-f(3)≤0，得f（λsinθ+cos²θ）≤f（3），
又∵因?yàn)閒（x）是增函數(shù)，
∴λsinθ+cos²θ≤3恒成立，θ∈[0，2π）．
即sin²θ-λsinθ+2≥0．
令t=sinθ，得t²-λt+2≥0（﹡）．
∵θ∈[0，2π），∴-1≤sinθ≤1，即-1≤t≤1．
令h（t）=t²-λt+2=(t-

λ

2

)2+2-

λ2

4

（-1≤t≤1），
①當(dāng)

λ

2

＜-1，即λ＜-2時(shí)，只需h（-1）≥0，（﹡）成立，
∴λ+3≥0，解得-3≤λ＜-2；                          
②當(dāng)-1≤

λ

2

≤1，即-2≤λ≤2時(shí)，只需h(t)min=h(

λ

2

)=2-

λ2

4

≥0，（﹡）成立，
∴λ²≤8，解得-2

2

≤λ≤2

2

，∴-2≤λ≤2．
③當(dāng)

λ

2

＞1，即λ＞2時(shí)，只需h（1）≥0，（﹡）成立，
∴λ≤3，∴2＜λ≤3，
綜上可得：-3≤λ≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了抽象函數(shù)問題、函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了換元法、分類討論、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．