Question

已知函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x|．
（1）求不等式f（x）＞0的解集；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤m成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）不等式即|2x+1|-|x|＞0，分類討論，把它轉(zhuǎn)化為與之等價的3個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得 m≥f_min（x），根據(jù)f（x）的解析式，求得f_min（x） 的值，可得m的范圍．

解答： 解：（1）不等式f（x）＞0 即|2x+1|-|x|＞0，
∴

x＜- 1 2 -x-1＞0

①，或

- 1 2 ≤x＜0 3x+1＞0

②，或

x≥0 x+1＞0

 ③．
解①求得x＜-1，解②求得-

1

3

＜x＜0，解③求得x≥0，
故原不等式的解集為{x|x＜-1，或x＞-

1

3

}．
（2）存在x∈R，使得f（x）≤m成立，故m≥f_min（x）．
由于f（x）=

-x-1 ，x＜- 1 2 3x+1 ，- 1 2 ≤x＜0 x+1 ，x≥0

，
∴f_min（x）=f（-

1

2

）=-

1

2

，∴m≥-

1

2

，
即m的取值范圍為[-

1

2

，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，帶有絕對值的函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．