Question

已知直線l：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），圓C：（x-1）²+（y-2）²=25．
（Ⅰ）證明：直線l與圓C相交；
（Ⅱ）當(dāng)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（Ⅰ）通過直線l轉(zhuǎn)化為直線系，求出直線恒過的定點(diǎn)，判斷定點(diǎn)與圓的位置故選即可判斷直線l與圓C相交；
（Ⅱ）說明直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)，圓心與定點(diǎn)連線與直線l垂直，求出斜率即可求出直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）直線l方程變形為（2x+y-7）m+（x+y-4）=0，
由

2x+y-7=0 x+y-4=0

，得

x=3 y=1

，所以直線l恒過定點(diǎn)P（3，1），…（2分）
又|PC|=

5

＜5，故P點(diǎn)在圓C內(nèi)部，所以直線l與圓C相交；…（4分）
（Ⅱ）當(dāng)l⊥PC時(shí)，所截得的弦長(zhǎng)最短，此時(shí)有k_l•k_PC=-1，…（6分）
而kl=-

2m+1

m+1

，kPC=-

1

2

，于是

2m+1

2(m+1)

=-1，解得m=-

3

4

．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線系方程的應(yīng)用，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．