Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為邊長為5的正方形，AE⊥平面CDE，AE=3．
（1）若F為DE的中點，求證：BE∥平面ACF；
（2）求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）連結AC，BD交于O，連OF，利用三角形中位線的性質，證明OF∥BE，利用線面平行的判定證明BE∥平面ACF；
（2）證明EH⊥平面ABCD，可得BH為BE在平面ABCD內的射影，∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，從而可求直線BE與平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （1）證明：連結AC，BD交于O，連OF．
∵F為DE中點，O為BD中點，
∴OF∥BE，
∵OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（2）解：過E作EH⊥AD于H，連結BH，…（7分）
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，
∵EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，
∵CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，
∴EH⊥平面ABCD，
∴BH為BE在平面ABCD內的射影，
∴∠EBH為BE與平面ABCD的所成角的平面角，
又∵CD∥AB，∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE為直角三角形，
∴BE=

34

，且HE=

12

5

，
∴sin∠EBH=

6 34

85

．…（12分）

點評：本題考查線面平行，考查線面垂直，考查線面角，正確運用線面平行的判定定理是關鍵．