如圖，在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
2
，M為AB的中點(diǎn)．
（1）證明：AC⊥SB；
（2）求二面角S-CM-A的余弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面SCM的距離．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,點(diǎn)、線、面間的距離計算
專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，
AC
•
BS
=0；
（2）求出兩平面法向量的坐標(biāo)，求其夾角；
n
═（-1，
3
，1）；
（3）為平面SCM的一個法向量，點(diǎn)B到平面SCM的距離d=
|
n
•
CB
|
n
=
4
5
5
．
解答： 解：（1）證明：取線段AC的中點(diǎn)O，連接OS，OB．
因為SA=SC，BA=BC，所以AC⊥SO且AC⊥BO．
因為平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，所以SO⊥平面ABC，
所以SO⊥BO．…（1分）
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（-2，0，0），S（0，0，2），B（0，2
3
，0），
AC
=（-4，0，0），
BS
=（0，-2
3
，2），
因為
AC
•
BS
═（-4，0，0）•（0，-2
3
，2）=0，
所以
AC
⊥
BS
，
即AC⊥SB…（3分）
（2）
OS
=（0，0，2），為平面ABC的一個法向量．…（4分）
由（1）得：M（1，
3
，0），
CM
=（3，
3
，0），
CS
=（2，0，2），．
設(shè)
n
=（x，y，z），為平面SCM的一個法向量，則
n
⊥
CM
n
⊥
CS
即
n
•
CM
=3x+
3
y=0
n
•
CS
=2x+2z=0

取x=1，則y=-
3
，z=-1，
∴
n
=（-1，
3
，1），
所以cos＜
n
，
OS
＞=
n
•
OS
|
n
||
OS
|
=
5
5
…（8分）
由圖可知：二面角S-CM-A是銳角二面角，…（9分）
所以二面角S-CM-A的余弦值為
5
5
．…（10分）
（3）由（1）（2）可得：
CB
=（2，2
3
，0），
n
═（-1，
3
，1），為平面SCM的一個法向量．…（11分）
所以，點(diǎn)B到平面SCM的距離d=
|
n
•
CB
|
n
=
4
5
5
．…（13分）
點(diǎn)評：本題考查了利用空間向量研究平面與平面所成角、點(diǎn)到平面的距離公式和異面垂直的證法等知識，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列數(shù)列是等差數(shù)列的是（　�。�
A、an=-2n
B、an=（-1）n•n
C、an=（n+1）2
D、an=2n+1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意x∈R都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈[-2，0）時，f（x）=2x，則f（2015）-f（2014）的值為（　�。�
A、
3
4
B、-
3
4
C、
1
4
D、
1
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若z=
1
2
|z|+i2015（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于（　�。�
A、第一象限B、第二象限
C、第三象限D、第四象限

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合A={-1，2}，B={x|x2-（a+1）x+a2-2=0}，A∩B={2}
（Ⅰ）求集合B；
（Ⅱ）設(shè)全集U={-1，0，1，2，3，4}，若集合M滿足{-1}⊆M?∁UB，寫出滿足條件的所有集合M．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足：a1=b1=1，a2=b2≠1，a5=b3，設(shè)cn=an+bn（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{cn}的通項公式；
（2）設(shè)Sn=c1+c2+c3+…+cn，求Sn的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的各項都為正數(shù)，其前n項和為Sn，已知對任意n∈N*，Sn是an2和an的等差中項．
（1）試求a1，a2的值；
（2）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列bn=2n（n∈N*），求數(shù)列{anbn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．
（1）若函數(shù)y=f（x）在x=a，x=b，x=c處取到極值，且a，b，c成等差數(shù)列，求t的值；
（2）若存在實(shí)數(shù)t∈[0，2]，使對任意的x∈[1，m]，不等式 f（x）≤x恒成立．求正整數(shù)m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=ax+2lnx（a∈R）
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在負(fù)實(shí)數(shù)，當(dāng)x∈[-e，0）時，使得f（x）的最小值是4，若存在，求a的值，如果不存在，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案