Question

15．已知f（x）=1+x-$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{{x}^{4}}{4}$+…+$\frac{{x}^{2015}}{2015}$；g（x）=1-x+$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$+$\frac{{x}^{4}}{4}$-…-$\frac{{x}^{2015}}{2015}$；設(shè)函數(shù)F（x）=[f（x+3）]•[g（x-4）]，且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，則b-a的最小值為（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)f（x）、g（x）的零點(diǎn)所在的區(qū)間，然后要求F（x）=f（x+3）•g（x-4）的零點(diǎn)所在區(qū)間，即求f（x+3）的零點(diǎn)和g（x-4）的零點(diǎn)所在區(qū)間，根據(jù)圖象平移即可求得結(jié)果

解答 解：∵f（0）=1＞0，f（-1）=（1-1）+（-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（-$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＜0
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f′（x）=$\frac{1+{x}^{2015}}{1+x}$＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）有唯一零點(diǎn)x∈（-1，0）；
∵g（1）=（1-1）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{2014}$-$\frac{1}{2015}$）＞0，
g（2）=（1-2）+（2-$\frac{8}{3}$）+…+（$\frac{{2}^{2014}}{2014}$-$\frac{{2}^{2015}}{2015}$）＜0，
當(dāng)x∈（1，2）時(shí)g′（x）=-1+x-x²+…-x²⁰¹⁴=-$\frac{-（1+{x}^{2015}）}{1+x}$＜0
∴函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減，故函數(shù)g（x）有唯一零點(diǎn)x∈（1，2）；
∵F（x）=f（x+3）•g（x-4），且函數(shù)F（x）的零點(diǎn)均在區(qū)間[a，b]（a＜b，a，b∈Z）內(nèi)，
∴f（x+3）的零點(diǎn)在（-4，-3）內(nèi)，g（x-4）的零點(diǎn)在（5，6）內(nèi)，
因此F（x）=f（x+3）•g（x-3）的零點(diǎn)均在區(qū)間[-4，6]內(nèi)，
∴b-a的最小值為10．
故選C：．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)零點(diǎn)判定定理和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及數(shù)列求和問(wèn)題以及函數(shù)圖象的平移，體現(xiàn)了分類討論的思想，以及學(xué)生靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．屬于中檔題．