Question

5．已知A 為橢圓上一點，E，F(xiàn) 分別為橢圓的左右焦點，∠EAF=90°，設(shè)AE 的延長線交橢圓于B，又|AB|=|AF|，則橢圓的離心率e為（　�。�

• A． $\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，利用|AB|=|AF|，△AEF，△ABF為直角三角形及橢圓的定義列式求得橢圓的離心率．

解答 解：如圖，
設(shè)|AF|=m，|AE|=n，
∵|AB|=|AF|，且∠EAF=90°，
∴|BF|=$\sqrt{2}m$，
又|BE|=m-n，
∴$\sqrt{2}m+m-n=2a$，
與m+n=2a聯(lián)立，可得$m=\frac{4a}{2+\sqrt{2}}，n=\frac{2\sqrt{2}a}{2+\sqrt{2}}$，
代入m²+n²=4c²，
可得$\frac{16{a}^{2}}{（2+\sqrt{2}）^{2}}+\frac{8{a}^{2}}{（2+\sqrt{2}）^{2}}=4{c}^{2}$，
∴$6{a}^{2}=（2+\sqrt{2}）^{2}{c}^{2}$，則${e}^{2}=\frac{6}{（2+\sqrt{2}）^{2}}$，
∴e=$\frac{\sqrt{6}}{2+\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}（2-\sqrt{2}）}{2}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題主要考查圓錐曲線的定義的應(yīng)用，試題在平面幾何中的勾股定理、等腰三角形和圓錐曲線的定義之間進行了充分的交匯，在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口，此題是中檔題．