在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F′與F,圓F:(x-
3
)2
+y2=5.
(1)設(shè)M為圓F上一點(diǎn),滿足
MF′
MF
=1,求點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)若P為橢圓上任意一點(diǎn),以P為圓心,OP為半徑的圓P與圓F的公共弦為QT,證明:點(diǎn)F到直線QT的距離FH為定值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題
專(zhuān)題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由橢圓性質(zhì)求出F(-
3
,0),F(xiàn)(
3
,0)
,設(shè)M(m,n),由
MF
MF
=1
,得m2+n2=4,再由(m-
3
)
2
+n2=5
,能求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)設(shè)P(x0,y0),圓P的方程為x2 +y2-2x0x-2y0y=0,圓F的方程為(x-
3
)2+y2=5
,由此求出直線QT的方程為(x0-
3
)x+y0y-1=0
,由此能證明點(diǎn)F到直線QT的距離FH為定值.
解答: 解:(1)∵橢圓
x2
4
+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F′與F,
F(-
3
,0),F(xiàn)(
3
,0)
,設(shè)M(m,n),
MF
MF
=1
,得(m+
3
)(m-
3
)+n2=1,
∴m2+n2=4,①
(m-
3
)
2
+n2=5
,②
由①,②得m=
3
3
,n=±
33
3

∴M(
3
3
,
33
3
)或(
3
3
,-
33
3
),
(2)設(shè)P(x0,y0),M圓P的方程為(x-x02+(y-y02=x02+y02,
x2 +y2-2x0x-2y0y=0,③
又圓F的方程為(x-
3
)2+y2=5
,④
由③④得直線QT的方程為(x0-
3
)x+y0y-1=0
,
∴FH=
|
3
(x0-
3
)-1|
(x0-
3
)2+y02
=
|
3
x0-4|
x02+y02-2
3
x0+3
,
∵P(x0,y0)在橢圓上,∴
x02
4
+y0 2=1
,即y02=1-
x02
4
,
∴FH=
|
3
x0-4|
3
4
x02-2
3
x0+4
=
|
3
x0-4|
(
3
2
x0-2)2
=2.
點(diǎn)評(píng):本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法,考查點(diǎn)到直線的距離為定值的證明,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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下面給出的四個(gè)點(diǎn)中,位于
x+y+1>0
x-y+1<0
表示的平面區(qū)域內(nèi),且到直線x-y+1=0的距離為
2
2
的點(diǎn)是(  )
A、(-1,1)
B、(-2,1)
C、(0,3)
D、(1,1)

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已知x2-4x+b=0的一個(gè)根的相反數(shù)為x2+4x-b=0的根,求x2+bx-4=0的正根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓x2+
y2
4
=1的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A,B,曲線C是以A,B兩點(diǎn)為頂點(diǎn),焦距為2
5
的雙曲線.設(shè)點(diǎn)P在第一象限且在曲線C上,直線AP與橢圓相交于另一點(diǎn)T.
(Ⅰ)求曲線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)P,T兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,求證:x1•x2為定值;
(Ⅲ)設(shè)△TAB與△POB(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積分別為s1與s2,且
PA
PB
≤15,求s12-s22的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給定橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),稱(chēng)圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
a2+b2
的圓是橢圓C的“伴隨圓”,若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為F2
2
,0),其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到F2的距離為
3

(Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
(Ⅱ)過(guò)橢圓C的“伴隨圓”上的一動(dòng)點(diǎn)Q作直線l1,l2,使得l1,l2與橢圓C都只有一個(gè)公共點(diǎn),求證:l1⊥l2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2
3
sinxcosx-2sin2x+a,a∈R.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),且f(3)=0,求f(x)>0的解集.

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已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a1=-1,S3=6,則S6=
 

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