Question

給定橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），稱圓心在坐標(biāo)原點O，半徑為

a2+b2

的圓是橢圓C的“伴隨圓”，若橢圓C的一個焦點為F₂（

2

，0），其短軸上的一個端點到F₂的距離為

3

（Ⅰ）求橢圓C及其“伴隨圓”的方程
（Ⅱ）過橢圓C的“伴隨圓”上的一動點Q作直線l₁，l₂，使得l₁，l₂與橢圓C都只有一個公共點，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）利用橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系即可得出橢圓方程，進(jìn)而得到“伴橢圓”的方程；
（Ⅱ）利用點到直線的距離公、直線與橢圓相切的性質(zhì)及點Q的坐標(biāo)滿足“伴橢圓”的方程即可證明．

解答： （Ⅰ）由題意可知：c=

2

，a=

3

，∴b²=a²-c²=1．
∴橢圓方程為：

x2

3

+y2=1，

a2+b2

=2，
∴橢圓C的“伴橢圓”方程為：x²+y²=4．
（Ⅱ）設(shè)直線方程為：y=kx+m
∵截橢圓C的“伴隨圓”所得的弦長為2

2

，
∴圓心到直線的距離d=

|m|

1+k2

，
∵d2+(

2

)2=r2，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又

x2+3y2=3 y=kx+m

，得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直線l與橢圓相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
設(shè)Q（x₀，y₀），直線y-y₀=k（x-x₀），
1+3k²-m²=1+3k²-（y₀-kx₀）²=0，
即（3-x02）k²+2y0x0k+1-y02=0，
∴k1k2=

1-y02

3-x02

，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴橢圓”上，
∴x02+y02=4，∴3-x02=y02-1．
∴k₁k₂=-1，∴l(xiāng)₁⊥l₂．

點評：熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其a、b、c的關(guān)系、點到直線的距離公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直線與橢圓相切的性質(zhì)、“伴橢圓”的定義是解題的關(guān)鍵．